@袁锐 2025年秋季学期 dryr@foxmail.com
等级相关是两个定序变量之间的相关关系，用于刻画定序变量的关联强度与方向。
定序变量取值具有大小比较意义，相关系数的正负号表示相关方向：
正相关：两个变量变化方向一致；
负相关：两个变量变化方向相反。
描述方式：可通过分类条形图、多线图直观呈现，关联强度需通过等级相关系数量化。
核心逻辑：通过个案在两个变量上的等级差值大小测量相关度。
将两个变量的两组数据分别排序以后，每个个案在两个变量上分别获得了一个等级。
强正相关：个案的两个等级差值小，等级差的平方和也小；
强负相关：个案的两个等级差值大，等级差的平方和也大。
结论：等级差值的平方和是衡量等级相关的关键指标。
求和：
代入公式（）：
步骤1：计算等级差平方和
步骤2：代入公式（）
结论：14名学生的数学成绩与物理成绩呈强正相关（）。
核心问题：变量中存在“结（Tie）”（两个及以上个案取值相同），需调整等级赋值。
等级调整规则：
适用条件：相同等级数量不多（若较多，建议使用Gamma等级相关系数）。
计算公式：仍使用，仅等级赋值方式调整。
结论：含相同等级时，数学成绩与物理成绩仍呈极强正相关（）。
原假设：总体中两个变量的斯皮尔曼等级相关系数（无等级相关）；
备择假设：（存在等级相关）。
当时，若成立，统计量为：
已知条件：，，
步骤1：
步骤2：计算检验统计量
步骤3：确定临界值
步骤4：决策
结论：总体中数学成绩与物理成绩的等级相关显著。
步骤1：成绩转换为等级（同分取平均等级） 成绩原始数据：92, 90, 86, 78, 78, 74, 74, 74, 68, 64, 60, 60 成绩等级：1, 2, 3, 4.5, 4.5, 7, 7, 7, 9, 10, 11.5, 11.5
步骤2：整理等级差与平方和
步骤3：计算
步骤4：统计检验（，）
结论：不能认为“先交卷的学生成绩较优”。
步骤1：计算
步骤2：统计检验（）
拒绝 ，认为县层面生育率与收入等级相关。
关键提醒：群体谬误（生态学谬误）
斯皮尔曼等级相关系数是线性相关系数 的特例，其平方 具有减少误差比例（PRE） 性质。
推导前提：
推导过程： 等级差平方和展开： 代入等级方差公式，整理得协方差： 代入线性相关系数 公式，最终得：
设个案A的等级为，个案B的等级为，定义：
以列联表为例（，）：
取值范围：
：完全正相关（只有同序对，无异序对）；
：完全负相关（只有异序对，无同序对）；
：无相关（同序对数量=异序对数量）。
其中为样本总数。
（注： 等级：大专及以上 > 高中、中专 > 小学及以下； 等级：满意 > 不好说 > 不满意）
步骤1：计算同序对数量
步骤2：计算异序对数量
步骤3：代入Gamma公式
结论：居民的文化程度与环境满意度呈较弱的负相关（），即文化程度越高，环境满意度略低。
已知条件：，，，，
步骤1：计算检验统计量
步骤2：确定临界值
步骤3：决策
结论：总体中文化程度与环境满意度的负相关显著。
步骤1：计算同序对
步骤2：计算异序对
步骤3：计算G系数
步骤4：统计检验（）
PRE定义：知晓变量间关系后，预测误差减少的比例，
无关系时（）：预测等级纯随机，猜对概率50%，误差
有关系时（）：按等级预测等级（则），仅异序对猜错，误差
代入PRE公式：
结论：Gamma系数本身就是PRE值，直接反映预测误差减少的比例，解释性更强。
计算公式：
适用条件：存在同分对时，修正分母以消除同分对影响。
其中：
：变量方向的全部同分对数
（为第个等级的个案数）；
（为第个等级的个案数）。
适用条件：同分对较多，且数据已整理为列联表。
已知条件：列联表（，），，，，
计算过程：
结论：文化程度与环境满意度呈较弱负相关（），与Gamma系数结论一致但强度略低（因修正了同分对）。
核心逻辑：同时考虑 和 方向的同分对，计算两个方向的条件相关系数并取均值。
当成立时，统计量为：
统计量：
查表得：
结论：因为 ，所以，拒绝原假设，两个变量的等级相关在总体中是显著的。