统计推断 · 交互实验室

先看方法

抽样分布是怎么来的？

总体四点分布

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抽一个样本容量 n

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重复很多次每次算一个 x̄

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抽样分布所有 x̄ 的分布

我们关心的不是某一次抽样得到的 x̄，而是反复抽样后，x̄ 会怎样分布。下面两个案例，就是把这条链路一步步算出来。

案例一

均匀的奖学金总体：四种奖学金各占 25%

某大学按研究生入学成绩把学生分成均等的四部分，分配奖学金：前 25% 每月 800 元，前 25%–50% 每月 600 元，前 50%–75% 每月 400 元，最后 25% 每月 200 元。

总体分布：四种奖学金各 25%

奖学金 x（元）	800	600	400	200
概率 P(X=x)	0.25	0.25	0.25	0.25

μ= E(X) = 0.25×800 + 0.25×600 + 0.25×400 + 0.25×200 = 500 元 D(X)= 0.25×(800−500)² + 0.25×(600−500)² + 0.25×(400−500)² + 0.25×(200−500)² = 50,000 σ= √50,000 ≈ 223.6 元

抽 1 个人：样本均值就是他自己

n=1 时，样本均值 x̄ 就是被抽中那个人的奖学金，它的分布就是总体分布：E(x̄)=500，D(x̄)=50,000，SD(x̄)=223.6。样本量太小，抽样分布还没有“变窄”。

抽 2 个人：把所有组合列出来

有放回地抽 2 人，共有 4×4=16 种等可能组合，每种概率 0.25×0.25=0.0625。把两人的平均奖学金算出来，就得到 x̄ 的分布。

展开 4×4 组合表（两人奖学金的平均值）

第一人 \ 第二人	200	400	600	800
200	200	300	400	500
400	300	400	500	600
600	400	500	600	700
800	500	600	700	800

n=2 时样本均值的分布

x̄	200	300	400	500	600	700	800
概率	0.0625	0.1250	0.1875	0.2500	0.1875	0.1250	0.0625

E(x̄)= 200×0.0625 + 300×0.1250 + 400×0.1875 + 500×0.2500 + 600×0.1875 + 700×0.1250 + 800×0.0625 = 500 D(x̄)= (200−500)²×0.0625 + (300−500)²×0.1250 + (400−500)²×0.1875 + (500−500)²×0.2500 + (600−500)²×0.1875 + (700−500)²×0.1250 + (800−500)²×0.0625 = 25,000 SD(x̄)= √25,000 ≈ 158.1

均值还是 500；方差从 50,000 降到 25,000，正好是 σ²/2。

抽 3、4、30、300 个人

继续算下去，规律很清楚：均值一直是 500，方差按 σ²/n 缩小，分布越来越像钟形。

n	1	2	3	4	30	300
分布形状	均匀	对称	对称	对称	近似正态	接近正态
E(x̄)	500	500	500	500	500	500
D(x̄)	50,000	25,000	16,666.7	12,500	1,666.7	166.7
SD(x̄)	223.6	158.1	129.1	111.8	40.8	12.9

n=30：近似 N(500, 40.8²)

注意：总体还是那四个点，没有变；变的是“样本均值”的分布。n 越大，它越窄、越像正态。

案例二

偏态的奖学金总体：60% 的人拿 200 元

换一个分配方式：5% 成绩最好的学生得 800 元，其后 10% 得 600 元，再后面 25% 得 400 元，其他 60% 得 200 元。总体明显右偏。

总体分布：右偏，60% 集中在 200 元

奖学金 x（元）	800	600	400	200
概率 P(X=x)	0.05	0.10	0.25	0.60

μ= E(X) = 0.05×800 + 0.10×600 + 0.25×400 + 0.60×200 = 320 元 D(X)= 0.05×(800−320)² + 0.10×(600−320)² + 0.25×(400−320)² + 0.60×(200−320)² = 29,600 σ= √29,600 ≈ 172 元

抽 1 个人：分布还是偏的

n=1 时，x̄ 的分布就是总体分布：E(x̄)=320，D(x̄)=29,600，SD(x̄)=172。注意：均值 320 的左边只有 200 元一个值，右边拖到 800 元，分布不对称。

抽 2 个人：偏态开始减弱

仍然是有放回地抽 2 人，16 种组合。把两人的平均奖学金列出来，概率如下：

展开 4×4 组合表

第一人 \ 第二人	200	400	600	800
200	200	300	400	500
400	300	400	500	600
600	400	500	600	700
800	500	600	700	800

n=2 时样本均值的分布：仍然右偏，但比总体缓和

x̄	200	300	400	500	600	700	800
概率	0.36	0.30	0.1825	0.11	0.035	0.01	0.0025

E(x̄)= 200×0.36 + 300×0.30 + 400×0.1825 + 500×0.11 + 600×0.035 + 700×0.01 + 800×0.0025 = 320 D(x̄)= (200−320)²×0.36 + (300−320)²×0.30 + (400−320)²×0.1825 + (500−320)²×0.11 + (600−320)²×0.035 + (700−320)²×0.01 + (800−320)²×0.0025 = 14,800 SD(x̄)= √14,800 ≈ 121.7

均值还是 320；方差从 29,600 降到 14,800，正好是 σ²/2。

抽 3、4、30、300 个人

偏态继续减弱。到 n=30 左右，分布已经很像正态；到 n=300，几乎就是一条钟形曲线。

n	1	2	3	4	30	300
分布形状	偏态	偏态减弱	偏态减弱	偏态减弱	近似正态	接近正态
E(x̄)	320	320	320	320	320	320
D(x̄)	29,600	14,800	9,866.7	7,400	986.7	98.7
SD(x̄)	172	121.7	99.3	86	31.4	9.9

n=30：近似 N(320, 31.4²)

总体是偏的，但样本均值的分布被“拉正”了。这不是因为总体变正态，而是因为多个独立随机变量叠加后，均值的分布趋近正态。

把两个案例放在一起

中心极限定理：不管总体长什么样，样本均值都往正态靠

两个案例的总体形状完全不同：一个是均匀的四点分布，一个是明显右偏的四点分布。但抽样结果遵循同一套规律：

E(x̄)= E[(x₁+…+x_n)/n] = (1/n)·ΣE(x_i) = (1/n)·nμ = μ D(x̄)= D[(x₁+…+x_n)/n] = (1/n²)·ΣD(x_i) = (1/n²)·nσ² = σ²/n SE(x̄)= σ/√n

也就是说：样本均值的“中心”永远是总体均值 μ；它的“胖瘦”由标准误 σ/√n 决定；n 越大，标准误越小，分布越窄。

当 n 足够大时x̄ ≈ N(μ, σ²/n) 标准化后Z = (x̄ − μ) / (σ/√n) ≈ N(0, 1)

这就是中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）：只要 x₁,…,x_n 相互独立、同分布，且 μ、σ² 存在，n 足够大时，样本均值近似服从正态分布。它不要求总体本身是正态的。

它和大数定理分工不同：大数定理关心“x̄ 会不会靠近 μ”，中心极限定理进一步关心“x̄ 的分布长什么样”。两者合起来，才说明为什么可以用一个样本的均值去推断总体均值。

这也解释了为什么社会经济中大量变量近似正态：它们往往是许多独立偶然因素叠加的结果；同时，它也是后面区间估计和假设检验的理论基础。

案例	总体形状	μ	σ²	n=30 的 SD(x̄)	n=30 的形状
案例一	均匀	500	50,000	40.8	近似正态
案例二	右偏	320	29,600	31.4	近似正态

四个容易混的点

“n≥30 一定正态”不成立。30 只是经验门槛；总体越偏、尾部越重，需要的 n 越大。反过来，对称总体在很小的 n 就可能已经很接近正态。
变窄的是样本均值的分布，不是总体。总体分布一直是那四个点；样本量变大，只是 x̄ 的波动变小。
标准误不是样本标准差。σ 是总体的标准差；σ/√n 是样本均值的标准差，叫标准误。n 越大，标准误越小。
单个样本仍然有抽样误差。x̄−μ 不会因为 n 大就变成 0；抽样分布描述的是“反复抽样的长期规律”，不是对某一次抽样的保证。

下一步：既然知道了 x̄ 的分布，就可以用它做区间估计、单样本检验和双样本检验。都已接入。

把纸上的数字跑起来

进入抽样分布实验室

实验室里保留了这两个案例的原始数字。你可以抽 1 次看过程，也可以抽 1000 次看分布；还可以换成 Beta 形状、双峰、指数、对数正态，或者粘贴自己的数据，观察“总体形状变了，样本均值是否仍然趋近正态”。

实验室里的“不同 n 对照”可以一次看到 n=1/4/30/100 的四联图；统计量可以切换均值、中位数、比例、方差、标准差和 t。

第一人 \ 第二人	200	400	600	800
200	200	300	400	500
400	300	400	500	600
600	400	500	600	700
800	500	600	700	800

第一人 \ 第二人	200	400	600	800
200	200	300	400	500
400	300	400	500	600
600	400	500	600	700
800	500	600	700	800

第一人 \ 第二人	200	400	600	800
200	200	300	400	500
400	300	400	500	600
600	400	500	600	700
800	500	600	700	800

第一人 \ 第二人	200	400	600	800
200	200	300	400	500
400	300	400	500	600
600	400	500	600	700
800	500	600	700	800

第一人 \ 第二人	200	400	600	800
200	200	300	400	500
400	300	400	500	600
600	400	500	600	700
800	500	600	700	800

第一人 \ 第二人	200	400	600	800
200	200	300	400	500
400	300	400	500	600
600	400	500	600	700
800	500	600	700	800